L'Infini

L’INFINI

L’infini « en puissance » et non « en acte » (Aristote)

On se trompe sur l’infini, déclare Aristote, quand on voit en lui « ce hors de quoi rien n’existe » : l’infini est au contraire, affirme-t-il, « ce hors de quoi il y a toujours quelque chose » (Physique, livre III, chapitre 6). À en croire la première formule, le mot « infini » désignerait la perfection, la plénitude d’être. Dans ce cas, contrairement à ce que suggère la forme privative de ce mot, indiquée par le préfixe « in », le concept de l’in-fini ne viendrait pas après celui du « fini » pour le nier : c’est lui, l’infini, qui serait le concept premier, absolument positif. Car comment saurions-nous percevoir une fin en tant que fin, une limite en tant que limite, sur quel fond commun pourrions-nous distinguer ce que la limite inclut et ce qu’elle exclut, si nous n’avions pas pour préalable la notion de l’être plein, de l’être parfait, de « ce hors de quoi rien n’existe » ? C’est du côté du fini, dirait-on alors, que se trouve la négation : être fini, c’est être privé de tout ce qui existe hors de soi.

Cette conception, Aristote la rejette. L’infini, selon lui, ce n’est pas le parfait. L’infini est bel et bien in-fini, c’est fondamentalement une négation : la négation du « fini » au sens de la finition, la négation de l’achèvement, de l’accomplissement. La suite des nombres naturels peut être dite « infinie » parce qu’on ne saurait concevoir qu’elle s’achève sur un nombre qui se distinguerait de tous en étant définitivement « le plus grand ». Aussi loin que nous allions en la parcourant, le nombre auquel nous aboutissons nous permet d’aller encore plus loin en lui ajoutant une nouvelle fois l’unité, si bien qu’il y aura toujours pour nous d’autres nombres à parcourir. Le temps qui s’est écoulé jusqu’à présent peut également être dit « infini » parce qu’on ne saurait concevoir qu’il ait commencé par un premier instant différent des autres. Aussi loin que nous remontions la chaîne temporelle, l’instant auquel nous aboutissons nous autorise à remonter plus loin encore, précisément parce qu’il est un instant du temps, doté, comme tous les instants, de la propriété de succéder à un « avant » et d’anticiper un « après ». Et il est également légitime de dire qu’une « grandeur » (une ligne, une surface, un volume) peut être divisée « à l’infini », puisqu’en la divisant nous obtenons d’autres grandeurs de même type qu’elle, donc divisibles comme elle : aussi loin que nous poursuivions cette opération, il nous est possible de la poursuivre davantage.

Mais si la série des nombres, la succession des instants et la division des grandeurs sont infinies au sens qui vient d’être exposé, elles ne le sont pas en un autre sens. Aristote n’imagine pas que l’on puisse, en considérant l’ensemble formé par tous les nombres naturels, affirmer que le nombre de tous ces nombres est un « nombre infini ». Cela reviendrait à présenter absurdement comme achevé un inachèvement perpétuel. On tombe dans ce genre d’absurdité, selon lui, lorsqu’on conçoit la divisibilité infinie, non comme signifiant simplement qu’il y aura toujours d’autres divisions possibles au-delà des divisions effectuées, mais comme une propriété interne de la grandeur, celle-ci étant donc composée d’une infinité de parties. Supposons alors qu’une ligne composée d’un nombre infini de points soit divisée en deux. Chacune des deux moitiés sera alors composée, non pas d’un nombre fini de points (car dans ce cas la ligne entière le serait également, ce qui est contre l’hypothèse), mais d’un nombre infini. Voilà qui heurte le bon sens : comment admettre qu’il y ait autant de points dans la moitié d’une ligne que dans la ligne entière ?

Il est donc évident, résume Aristote, « qu’en un sens l’infini est, et qu’en un autre il n’est pas ». Et il précise : l’infini est « en puissance », il n’est pas « en acte ». L’infini en puissance, c’est la possibilité de prolonger « à l’infini » la série des nombres ; l’infini en acte, ce serait le « nombre infini ». En séparant radicalement « l’être en acte » et « l’être en puissance », en les opposant comme le vrai et le faux, cette thèse pose problème : les deux expressions sont généralement censées former un couple, une corrélation indissociable. Nous avons besoin de cette corrélation, explique Aristote, pour pouvoir décrire correctement les choses qui ne sont pas toujours ce qu’elles sont, les choses qui changent, mûrissent, se transforment en d’autres choses, bref toutes les choses qui sont en devenir. Le bloc de marbre choisi par le sculpteur pour sa future statue n’est certes pas une statue « en acte », mais nous pouvons dire qu’il l’est déjà « en puissance ». Dès lors que toute puissance semble ainsi destinée à s’actualiser, rien ne devrait être « en puissance » sans jamais pouvoir « être en acte ». Rien, convient Aristote, sauf précisément l’exception que constitue l’infini, la seule puissance qui s’actualise sans jamais s’accomplir, en engendrant la succession toujours inachevée des nombres, des instants ou des divisions.

Si la puissance sans acte de l’infini est une exception, l’exception inverse est celle de l’acte sans puissance, de l’être en qui rien n’est virtualité, tendance, mouvement, de l’être qui n’a rien à achever parce qu’il est toujours déjà achevé, rien à accomplir parce qu’il est d’emblée accompli, rien à perfectionner parce qu’il est parfait. Selon Aristote, c’est cet « acte pur », et lui seul, qu’il convient de nommer « Dieu ». Rien ne serait donc plus absurde, à ses yeux, que de prétendre que « Dieu est infini », d’associer à la perfection suprême l’incomplétude irrémédiable, d’unir dans une même formule le sommet de la hiérarchie des êtres et son plus bas degré.

Infini et indéfini (Descartes)

Il est difficile d’imaginer une conception de l’infini s’opposant plus radicalement à la précédente que celle qu’exprime Descartes dans cette phrase de sa Troisième Méditation : « j’ai en quelque façon premièrement en moi la notion de l’infini que celle du fini, c’est-à-dire de Dieu que de moi-même ». « La notion de l’infini ... c’est-à-dire de Dieu » : Descartes n’attribue pas seulement au substantif « Dieu » l’adjectif « infini », ce qui laisserait la possibilité d’attribuer le même adjectif à d’autres substantifs, il affirme ici que les termes « Dieu » et « l’infini » sont identiques, que le mot « infini » ne désigne pas une propriété, ni même « un » être, mais exclusivement « l’être » lui-même, l’être suprême, parfait, la plénitude d’être, « ce hors de quoi rien n’existe » pour reprendre la formule qu’Aristote rejetait. Ce n’est pas l’expérience de l’inachèvement, l’impossibilité de parvenir à un terme, qui me pousse à former l’idée d’infini, c’est au contraire la référence implicite à cette idée, déjà présente en moi, qui me permet, par comparaison, « par retranchement » écrit Descartes, de repérer l’imperfection de toute chose « finie », c’est-à-dire bornée, entravée, privée de ce qui n’est pas elle. Cette antériorité logique prend un relief particulier lorsque mon idée de l’infini est confrontée à ma certitude d’être moi-même borné, entravé, privé de ce à quoi j’aspire. J’ai en effet conscience de moi comme d’un être qui ignore, qui se trompe, un être qui doute, qui désire, qui souffre, bref un être « fini », non au sens aristotélicien de la finition, de l’achèvement, mais au sens de la « finitude ». Or ce qui rend possible cette idée que j’ai de moi-même, explique ici Descartes, c’est la présence en moi d’une autre idée qui lui est antérieure, l’idée de l’être qui n’aspire à rien parce qu’il a tout, l’idée de l’être infini, et infini « en acte », l’idée de Dieu. Il est impossible de penser à soi sans avoir déjà « en quelque façon » pensé à Dieu. L’idée de Dieu est au fond de toute conscience humaine.

Cette idée de Dieu ou de l’infini, est-il juste toutefois d’affirmer que je « l’ai en moi » ? L’expression ne devrait-elle pas être réservée à une idée que je possède intégralement, à une idée que je « comprends » au sens littéral du terme, c’est-à-dire à l’idée d’une chose finie, précisément parce qu’elle est finie et que l’appréhension de ses limites permet de la distinguer, donc de la concevoir avec justesse ? Certes, convient Descartes, un esprit fini comme le mien ne saurait « comprendre » ce qui, par définition, le dépasse, mais cette incompréhensibilité même, affirme-t-il dans ses Réponses aux Cinquièmes Objections, « est contenue dans la raison formelle de l’infini » : loin de disqualifier l’idée que j’en ai, elle m’assure qu’il s’agit bien de l’idée « de » l’infini, de ce qui transcende toute limite et ne peut être cerné. C’est en « n’ayant pas » cette idée que je « l’ai » de la seule façon possible : elle est en moi comme ce qui me déborde, attestant la présence hors de moi de son objet. Toutes mes autres idées pourraient être de pures fictions, faire partie d’un rêve : il n’y a que l’idée d’infini que je n’aurais pas pu inventer. « En moi » sans être « de moi », elle n’a pu être mise en moi que par l’être infini lui-même, et prouve ainsi l’existence de cet être, l’existence de Dieu. Réciproquement, l’être infini ne peut trouver une représentation adéquate de son infinité que dans une conscience qui n’est pas à sa mesure, la conscience d’un être fini se sachant fini : c’est en ce sens qu’il est permis de dire que Dieu a besoin des hommes.

Mais si la finitude de mon entendement ne m’empêche pas de reconnaître l’infinité de Dieu et de sa puissance créatrice, elle m’interdit en revanche de me prononcer avec certitude sur l’éventuelle infinité du monde issu de cette puissance créatrice. Certes, je ne parviens pas à imaginer pour l’univers une étendue si grande qu’il me soit impossible d’en imaginer une plus grande encore, ni une division en parties si petites qu’il soit impossible de diviser chacune d’elles en parties encore plus petites. Mais que puis-je en conclure ? Cette incapacité que je ressens à concevoir des bornes en grandeur et en petitesse, oserai-je dire qu’elle prouve que l’univers est infiniment grand et infiniment divisible ? Ce serait faire de ma compréhension imparfaite la mesure de la création, négliger l’abîme qui sépare mon entendement fini de la puissance infinie de Dieu. Ce qui s’oppose ici à la notion d’infini, c’est la notion d’infini elle-même : je ne peux pas affirmer à la fois l’infinité du créateur et celle de sa création. Quand il s’agit de Dieu, de l’être parfait dont je porte en moi l’idée avant toute autre idée, la phrase « je ne peux concevoir de limites » signifie qu’aucune limite n’existe. Mais quand il s’agit du monde que Dieu a créé, la même phrase ne fait qu’exprimer l’imperfection de ma connaissance. Je ne peux même pas dire, comme Aristote, que l’univers serait seulement infini « en puissance ». Ou bien il est infini, c’est-à-dire infini en acte, ou bien il est limité : la décision échappe à ma portée. Tout ce que je puis dire, conclut Descartes, c’est que son étendue est « indéfinie », qu’il est constitué d’un nombre « indéfini » de parties, l’adjectif « indéfini » ne désignant pas une propriété objective qui serait intermédiaire entre le fini et l’infini, mais l’état d’indétermination où je suis plongé à cause de ma finitude.

L’infini sans paradoxe ( Galilée, Bolzano)

C’est dans les Principes de la philosophie, publiés en 1644, que Descartes justifie son refus d’affirmer ou de nier l’infinité de l’univers physique. En invoquant une raison analogue, il refuse également de s’engager dans les « disputes » de l’époque sur l’infini mathématique  : « Il serait ridicule, juge-t-il, que nous, qui sommes finis, entreprissions d’en déterminer quelque chose ». Que notre finitude fasse obstacle à cette entreprise, Galilée le reconnaît lui aussi, à la même époque (1638), dans un passage remarquable de ses Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles. Il y parle des « difficultés » qui surgissent « quand nous discutons, avec notre esprit fini, des choses infinies », et particulièrement de ce qui différencie un « ensemble infini » d’un ensemble fini. Bien que la phrase de Galilée semble dire la même chose que celle de Descartes, elle engage, nous allons le voir, une attitude tout à fait différente à l’égard de l’infini mathématique.

En quoi la notion d’ensemble infini fait-elle « difficulté » si on la compare à celle d’ensemble fini ? Considérons le cas où deux ensembles, finis ou infinis, se rapportent l’un à l’autre comme un « tout » à sa « partie ». En ce qui concerne les ensembles finis, nous pouvons comparer par exemple l’ensemble des nombres entiers naturels compris entre 0 et 9 et l’ensemble des nombres carrés compris entre les mêmes limites, à savoir les nombre 0, 1, 4 et 9. Nous dirons évidemment que le nombre des entiers considérés est « plus grand » que celui des carrés, et nous ajouterons qu’il doit en être ainsi puisque l’ensemble des carrés ne constitue qu’une « partie » du « tout » qu’est l’ensemble des entiers : or le tout, argumenterons-nous, est nécessairement « plus grand que la partie ». Tant que nous continuons à comparer des ensembles finis, rien ne peut s’opposer à cette conclusion. Mais considérons maintenant l’ensemble infini de tous les nombres entiers naturels et l’ensemble également infini de tous les carrés. Ce passage à l’infini ne change rien au fait que le second ensemble fait partie du premier, mais il nous empêche désormais, explique Galilée, d’en conclure que le premier ensemble serait « plus grand » que le second. Il n’y a pas « moins » de nombres carrés que de nombres entiers puisqu’à chaque nombre de la série infinie des entiers correspond le carré de ce nombre dans la série infinie des carrés : rien ne saurait échapper à cette correspondance réciproque entre tous les membres de la première série et tous les membres de la seconde. Nous sommes donc contraints de dire à la fois que tous les nombres ne sont pas des carrés, puisque certains le sont et d’autres non, mais qu’il y a pourtant exactement autant de nombres carrés que de nombres tout court.

Cette conclusion déconcertante, on la nomme parfois le « paradoxe de Galilée ». Galilée lui-même n’utilise pas ce mot, parlant seulement de « difficulté » : la différence entre les deux termes n’a rien d’anodin. Un « paradoxe », c’est ce qui heurte la doxa, le bon sens, ce qui bafoue les principes les plus assurés, par exemple ici le huitième axiome d’Euclide, « Le tout est plus grand que la partie », proposition tellement évidente qu’il semble presque superflu de l’énoncer. Or quand nous essayons de concevoir le rapport entre un tout infini et l’une de ses parties, nous découvrons que le tout ne peut justement pas être plus grand que la partie : il doit lui être égal, toujours égal quelle que soit cette partie. Nous pouvons en effet appliquer le raisonnement de Galilée à n’importe quelle partie de l’ensemble infini des nombres entiers : de même qu’il n’y a pas plus de nombres en tout que de nombres carrés, il n’y en a pas plus que de nombres pairs, pas plus que de multiples de 4, etc. Aucun paradoxe n’est toutefois « paradoxal » en lui-même, indépendamment de la doxa qu’il transgresse : la proposition « Un tout infini est égal à sa partie » n’est paradoxale que si nous persistons à accorder un statut d’évidence au principe selon lequel un tout doit toujours être plus grand que sa partie. Si tel est le cas, deux attitudes s’offrent à nous. Nous pouvons dire que le caractère paradoxal de cette proposition sanctionne l’absurdité de la notion d’infini « en acte », de l’infini conçu comme une totalité achevée : c’était la position d’Aristote. Ou bien nous dirons que ce caractère paradoxal exprime l’incapacité irrémédiable de notre entendement fini à concevoir rationnellement une grandeur ou une quantité infinie – c’est la position de Descartes. Galilée ouvre une troisième voie, celle qui consiste à nier qu’il y ait là le moindre « paradoxe », seulement une « difficulté », à savoir la difficulté de renoncer aux principes que notre « esprit fini » a l’habitude d’appliquer aux grandeurs et aux quantités finies. On le voit : l’expression « esprit fini » n’implique ici aucun enfermement irrémédiable, rien d’autre que l’attachement à un ensemble d’habitudes qu’il est difficile, mais non impossible, de remplacer par d’autres habitudes.

La voie ouverte par Galilée face à l’apparent paradoxe des ensembles infinis est celle que suivront les mathématiciens modernes. Une étape importante dans ce développement est la parution posthume, en 1851, d’un ouvrage du philosophe et mathématicien Bernard Bolzano intitulé Les paradoxes de l’infini : titre quelque peu trompeur puisque l’objectif de l’auteur est de montrer que ces prétendus paradoxes n’en sont pas. Délivrée de toute référence aux intuitions qui nous guident lorsque nous avons affaire à des ensembles finis, l’égalité entre le tout et la partie n’apparaît plus en effet comme une exception aberrante, mais comme la propriété caractéristique des ensembles infinis, propriété que les mathématiciens ultérieurs nommeront « réflexivité ». Une image est susceptible de donner une idée de ce qu’il faut entendre par là. Supposons qu’à l’intérieur d’un appartement parisien quelqu’un consulte un plan de Paris. Il est clair que ce plan est contenu dans Paris, qu’il n’est donc qu’une partie de cette ville, mais s’il s’agit d’un plan parfait, représentant avec exactitude toutes les rues de la capitale, y compris l’emplacement de l’immeuble, celui de l’appartement et celui du plan lui-même, il ne doit pas y avoir un seul point de Paris auquel ne corresponde un point dans le plan. La ville de Paris est ainsi entièrement « réfléchie » sur une partie d’elle-même, cette partie étant d’ailleurs réfléchie à son tour sur une partie d’elle-même puisque notre plan Paris, toujours en le supposant parfait, doit contenir un plan de lui-même, lequel doit également contenir un plan de lui-même, et ainsi de suite à l’infini.

Tant que cette réflexivité nous semble paradoxale, tant que nous tenons pour évidente l’inégalité entre le tout et la partie, nous raisonnons en allant du fini vers l’infini, lequel est alors conçu de manière négative, comme in-fini. Reconnaître la réflexivité comme la propriété non paradoxale des ensembles infinis permet d’orienter le raisonnement dans l’autre direction, de l’infini vers le fini. Nous disons alors que ce qui caractérise un ensemble fini, c’est qu’il n’a pas la propriété de réflexivité, qu’il ne peut pas être entièrement réfléchi sur une partie de lui-même, ce qui condamne cette partie à ne pouvoir lui être égale, à devoir être plus petite que lui. Pour reprendre des expressions de Descartes réservait à la perfection de Dieu en excluant tout ce qui touche au domaine mathématique, c’est désormais dans ce domaine que nous avons « premièrement » en nous « la notion de l’infini que celle du fini », cette dernière notion n’étant appréhendée que « par retranchement ».

          En lien avec cette notion, on pourra lire, dans le chapitre « Penser avec les maîtres » :

               - Aristote : La fatigue d’être

               - Descartes : Le malin génie

          Dans le chapitre « Conférences » :

               - Berkeley, la libre pensée en mathématiques

          Dans le chapitre « Explications de textes » :

               - Pascal : La règle de méthode

          Et dans le chapitre « Notions » :

               - L’Espace

               - La Matière

On peut également consulter dans l’Index les thèmes suivants : Être – Religion

BIBLIOGRAPHIE

ARISTOTE, La Physique, introduction, traduction et notes par Annick Stevens, Paris, Éd. Vrin, Coll. « Bibliothèque des textes philosophiques », 2012

DESCARTES, Méditations, Objections et Réponses, Principes de la philosophie, dans les Œuvres philosophiques de Descartes, édition de Ferdinand Alquié, Paris, Éd. Garnir, Coll. « Classiques Garnier », 3 tomes, Paris, 2018

GALILÉE, Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles, traduction de Maurice Clavelin, Paris, Éd. P.U.F., Coll. Épiméthée, 1995

BOLZANO, Les paradoxes de l’infini, traduction par Hourya Sinacoeur, Paris, Éd. Du Seuil, Coll. « Sources du savoir », 1993

Infini des mathématiciens, infini des philosophes, ouvrage collectif sous la direction de Françoise Monnoyeur, Paris, Éd. Belin, Coll. « Regard sur la science », 1999