L’IDÉE DE PREUVE ABSOLUE CHEZ KARL POPPER

 

 

Lisant il y a quelques mois le recueil d’essais de Popper intitulé The World of Parmenides[1], j’eus la surprise d’y découvrir un passage dans lequel Popper affirme qu’il y a en mathématiques des « preuves absolues ». J’imaginai d’abord, à tort, que cette expression « preuve absolue » ne pouvait se référer qu’à une preuve suprême dans l’ordre des preuves, une preuve capable d’établir une certitude elle-même absolue, donc à quelque chose qui paraissait d’emblée incompatible avec tout ce que je croyais savoir de la philosophie de Popper. Cette incompatibilité manifeste entre ce que disait Popper et ce que je m’attendais à lire fut la première raison – une assez mauvaise raison – de mon intérêt pour la question. J’espère avoir trouvé ensuite de meilleures raisons de persister dans cet intérêt.

À ma connaissance, trois textes de Popper mentionnent l’idée de preuve absolue : deux passages dans The World of Parmenides, et un paragraphe d’un entretien entre Popper et le philosophe polonais Adam Chmielewski dans l’ouvrage collectif Popper’s Open Society After Fifty Years[2]. Ces trois textes datent des dernières années de la vie de Popper, qui fait remarquer dans le troisième (l’entretien) qu’il ne s’intéresse que depuis peu de temps à cette question.

Voici quelques informations plus détaillées sur les trois passages. Le premier se situe donc dans le recueil The World of Parmenides, plus précisément dans l’Essai 4, « How the Moon might throw some of her light upon The Two Ways of Parmenides », essai rédigé en Mars 1989. On trouve l’expression “preuve absolue” (plus exactement “preuve presque absolue”) p. 86 du recueil. Le deuxième passage, également dans The World of Parmenides, se situe dans un Appendice auquel les éditeurs ont donné pour titre « Popper’s late fragments on Greek philosophy ». Il appartient à un article inachevé de Popper intitulé « Aristotle’s mathematics misunderstood ». On y trouve l’expression « preuve absolue » formulée à trois reprises p. 297 du livre. Le troisième passage, enfin, plus proche du second que du premier, survient au cours d’un entretien qui eut lieu le 29 Juillet 1994 entre Popper et Chmielewski. Le titre de cet entretien est « The future is open ». Il constitue maintenant la première partie de la Section 2 de l’ouvrage collectif Popper’s Open Society After Fifty Years. L’expression « preuve absolue » y apparaît deux fois p. 28.

Ces trois textes ont beaucoup en commun, mais également d’importantes différences, si importantes même qu’il est difficile de les rendre compatibles avec les points communs. C’est là, comme nous le verrons, le principal problème concernant l’idée de preuve absolue chez Popper.

 

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Examinons en premier lieu les points communs, qui sont au nombre de quatre. Quel que soit le passage considéré, les preuves absolues dont parle Popper

1. sont définies comme étant des preuves « sans supposition »,

2. relèvent d’une autre méthode que la méthode axiomatique,

3. furent proposées par les mathématiciens pré-euclidiens,

4. furent oubliées et dépréciées après Euclide.

1. Dans les trois passages, Popper définit de la même façon ce qu’il entend par « preuve absolue » : il s’agit, nous dit-il, d’une preuve « sans supposition ». Le mot « absolu » est précisément censé signifier que la preuve en question n’est pas « relative » à une quelconque supposition. Cette définition est implicite dans le premier passage, explicite dans les autres, où nous pouvons lire, dans le deuxième, « des preuves qui n’ont pas besoin de suppositions »[3], et dans le troisième « il n’y a là aucune supposition »[4].

Or est-il possible, sommes-nous aussitôt tentés d’objecter, de concevoir une preuve qui soit complètement « sans supposition » ? Non seulement nous répondons par la négative, mais nous avons de bonnes raisons de penser que cette réponse est également celle de Popper. Il faut donc admettre que dans l’esprit de ce dernier une preuve absolue n’est pas « sans supposition » en n’importe quel sens, qu’elle ne l’est qu’en un sens particulier, dès lors que ce sens est pertinent compte tenu de ce que la preuve en question est censée prouver. Telle est la première exigence.

Cela n’est toutefois pas assez. La prétendue preuve absolue devrait en outre être « sans supposition » de façon explicite, ouverte. Car il est clair que le simple fait qu’aucune supposition n’a été explicitement formulée ne suffit pas pour conclure qu’une preuve est sans supposition. Popper doit nous convaincre que ses preuves absolues ne sont pas tout simplement des preuves dont les suppositions n’ont pas encore été mises en lumière. C’est la seconde exigence.

2. Venons-en au deuxième point commun : les preuves absolues relèvent d’une autre méthode que la méthode axiomatique.

Il est clair que si une preuve est réellement sans supposition (en un sens qui satisfait les deux exigences précédentes), elle ne peut pas relever de la méthode axiomatique, méthode consistant précisément à partir de suppositions évidentes et à transmettre cette évidence initiale, de preuve en preuve, jusqu’aux conséquences les plus éloignées. Toute preuve est alors relative à des propositions initiales qui n’ont pas à être prouvées. Là où la méthode axiomatique est adoptée, l’expression « preuve absolue » ne pourrait désigner que l’idéal d’une perfection rationnelle inaccessible

Cela ne disqualifie pas l’idée de preuve absolue, cela indique seulement que ce genre de preuve relève d’une autre méthode que la méthode axiomatique. Voilà qui éclaire l’intention de Popper. Ce qui l’intéresse, ce n’est évidemment pas la certitude parfaite que fournirait, si elle était possible, une sorte de preuve transcendante. Son intérêt est un intérêt méthodologique. L’existence de preuves absolues, sans supposition, montre selon lui que la méthode axiomatique n’est pas la seule méthode possible en mathématiques : il y a une alternative.

Quelle alternative ? Une science déductive telle que les mathématiques n’est-elle pas forcément tenue de partir d’axiomes ? Chaque fois que Popper évoque la méthode axiomatique[5], c’est pour souligner son importance, sa valeur, mais aussi pour s’opposer à l’idée selon laquelle la construction d’un système déductif axiomatisé, transmettant aux conclusions l’évidence des prémisses, serait la tâche finale, l’authentique aboutissement de la science. Ce n’est au contraire, à ses yeux, qu’un moyen. Le véritable but de la déduction, insiste-t-il, n’est pas de garantir la certitude des conclusions, mais de tester la vérité des prémisses. L’alternative recherchée est donc contenue dans ce que Popper appelle la « méthode des conjectures et réfutations ». « Méthode axiomatique » est le nom que l’on donne à ce qui ne devrait être qu’une partie de cette méthode des conjectures et réfutations – la partie concernée par la transmission de la vérité des prémisses vers les conclusions – lorsque cette partie est considérée comme étant, non une partie justement, mais le tout, non un simple moyen, mais le but.

Tant que les suppositions faites par les mathématiciens sont tenues pour des axiomes censés transmettre leur évidence à travers l’enchaînement des preuves, chaque preuve ne peut être que relative à ces axiomes. Mais imaginons une pratique mathématique dans laquelle la supposition est conçue, non comme un axiome, mais comme une conjecture susceptible d’être testée par ses conséquences. Il est alors possible qu’une preuve établisse la fausseté de cette conjecture, donc la nécessité de la rejeter, de s’en passer. On aura le droit de dire, d’une telle preuve, qu’elle est « sans supposition », en un sens pertinent et d’une façon explicite, donc qu’elle est « absolue ».

3. Voilà qui nous conduit au troisième point commun entre les différents textes. Quel que soit le passage considéré, Popper n’évoque, sous le nom de « preuves absolues », que des preuves qui furent formulées par des mathématiciens anciens, plus précisément par les mathématiciens « pré-euclidiens ». Compte tenu de ce qui vient d’être dit, on peut convenir qu’il serait absurde de chercher ces preuves après Euclide, dans une science mathématique de plus en plus dominée par la méthode axiomatique. Est-il pour autant pertinent de les chercher avant Euclide ? On ne l’admettra que si on cesse de considérer les « mathématiques pré-euclidiennes » comme une science tâtonnante, insuffisamment élaborée. L’expression « pré-euclidiennes » ne signifie pas, suggère Popper, que ces mathématiques n’étaient « pas encore » euclidiennes, que leurs auteurs ne maîtrisaient « pas encore » la méthode axiomatique. Elle signifie que ces auteurs pratiquaient une autre méthode, plus élaborée au contraire : la méthode des conjectures et réfutations, dont la méthode dite « axiomatique » ne représente qu’une partie. C’était une science mathématique différente, une science mathématique où l’on pouvait proposer des preuves absolues.

La notion de preuve absolue renvoie ainsi à une théorie de l’histoire des mathématiques. Popper, on le sait, enseigne que  toute histoire est l’histoire de « situations de problèmes ». Qu’il y ait eu avant Euclide, plus précisément au cours des trois siècles qui séparent Pythagore d’Euclide, une époque où les mathématiciens se référaient, non à des axiomes pour transmettre leur évidence, mais à des conjectures pour les tester, cela doit pouvoir s’expliquer par la situation de problème qui était la leur. Cette situation de problème, plusieurs textes de Popper[6] la décrivent comme une crise de la représentation du monde et de sa structure, une révolution cosmologique : échec du programme pythagoricien d’une science du monde fondée sur l’arithmétique des nombres naturels, substitution à ce programme d’une science géométrique du monde. Selon Popper, c’est quand cette révolution cosmologique fut accomplie, quand le nouveau programme de géométrisation du monde fut réalisé avec succès dans l’œuvre d’Euclide, que s’imposa aux esprits l’idée qu’en mathématiques il faut partir d’axiomes évidents pour aboutir à des conclusions certaines. Mais si nous nous attachons exclusivement au processus révolutionnaire qui précéda ce moment, à la lente substitution d’un programme de géométrisation à l’ancien programme d’arithmétisation, nous découvrons une période exceptionnelle de l’histoire, celle où des mathématiciens traitaient leurs suppositions comme des conjectures, les éprouvaient par leurs conséquences, étant ainsi conduits à formuler des preuves qui n’étaient pas relatives, en tant que preuves, à ces suppositions, puisqu’elles impliquaient leur rejet.

4. Le quatrième point commun découle naturellement du troisième. Une fois accomplie la révolution cosmologique, une fois réalisé le programme de géométrisation du monde, une preuve ne fut reconnue comme une vraie preuve que si elle était conforme au modèle euclidien, si elle était correctement et explicitement reliée à des axiomes. Les preuves pré-euclidiennes, les preuves sans supposition, apparurent après-coup, non comme les preuves absolues qu’elles étaient, mais comme des preuves dont les axiomes demeuraient implicites et même inconscients, donc des preuves incomplètes, pré-mathématiques en quelque sorte. Leur véritable signification étant oubliée, ces preuves furent dépréciées. Or elles ne méritent justement pas, souligne Popper, d’être oubliées, car elles étaient en réalité des preuves parfaites, mais relevant d’une science mathématique différente. Et elles ne méritent pas d’être dépréciées, car quelque chose d’essentiel fut perdu quand cette science mathématique différente dut céder la place à la science mathématique euclidienne.

 

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À côté de ces quatre points communs, il y a également deux différences très importantes entre les preuves absolues évoquées par Popper dans le premier de nos textes de référence (l’Essai 4 de The World of Parmenides) et celles qu’il décrit dans les deux autres textes (l’Appendice de The World of Parmenides et l’entretien avec Chmielewski) : il est manifeste que Popper ne parle pas des mêmes preuves absolues dans les deux cas. Notre problème est de concilier ces différences avec les points communs qui viennent d’être présentés.

L’une de ces différences est celle-ci. Dans le premier texte, Popper affirme que certaines preuves mathématiques pré-euclidiennes étaient sans supposition, donc absolues, parce qu’elles étaient des preuves par reductio ad absurdum. Mais dans les deux autres passages il affirme que certaines preuves pré-euclidiennes étaient sans supposition, donc absolues, parce qu’elles étaient des preuves « intuitives ». La même description est ainsi associée à deux raisons tout à fait différentes, voire contraires. Car la preuve par réduction à l’absurde d’une part, la preuve intuitive d’autre part, semblent bien constituer, non seulement des genres de preuves différents, mais des genres opposés. Le principe de la réduction à l’absurde est en effet qu’on peut se fier à la pure logique sans avoir besoin de voir la vérité, tandis que le recours à l’intuition implique au contraire l’idée que la logique ne suffit pas parce qu’elle est aveugle.

Devons-nous supposer malgré tout qu’à l’époque pré-euclidienne la même catégorie de « preuves absolues » pouvait intégrer aussi bien des preuves par réduction à l’absurde et des preuves intuitives ? Devons-nous penser qu’un contexte mathématique particulier offrait alors, à des types de preuves que nous jugeons opposés, une sorte d’unité ou de complémentarité ? Je pense qu’il en est ainsi, mais Popper lui-même ne se prononce nulle part sur ce point. On ne trouve aucun texte dans lequel il traiterait ensemble les deux raisons apparemment opposées afin de les concilier. Qui plus est, lorsqu’il présente l’une de ces deux raisons, il le fait de telle sorte que l’autre semble bel et bien exclue.

Il y a là un problème, qu’on peut toutefois résoudre, dans une certaine mesure, en considérant la seconde différence entre les différents textes concernant les preuves absolues.

Cette seconde différence consiste en ceci. Considérons de nouveau le premier texte de référence, celui dans lequel « preuve absolue » signifie « preuve par réduction à l’absurde ». D’après Popper, ce n’est pas parce qu’ils étaient mathématiciens stricto sensu que les mathématiciens pré-euclidiens avaient recours à ce genre de preuve. Loin d’être un type de raisonnement spécifique aux mathématiques, la réduction à l’absurde était, explique-t-il, un mode d’argumentation commun à tous les penseurs présocratiques (Parménide, Zénon, Gorgias …) qui s’intéressaient avant tout à la cosmologie, aux spéculations sur la structure du monde. Par contraste, les deux autres textes de Popper, ceux qui identifient « preuve absolue » et « preuve intuitive », présentent cette dernière comme étant, à l’époque pré-euclidienne, une sorte de découverte des mathématiciens proprement dits, plus exactement une découverte des géomètres proprement dits.

Les deux différences semblent bien liées entre elles. Pour comprendre ce lien, on peut se référer à d’autres textes de Popper, ceux dans lesquels il traite de la distinction entre les mathématiques (entendons les mathématiques euclidiennes et post-euclidiennes, régie par la méthode axiomatique) et les sciences empiriques (dont relève la cosmologie) en ce qui concerne l’usage de la logique[7]. En mathématiques, écrit-il, la logique sert d’abord à prouver, positivement, c’est-à-dire à transmettre la vérité des prémisses aux conclusions. Dans les sciences empiriques, la logique sert d’abord à prouver négativement, à réfuter, c’est-à-dire à faire remonter la fausseté des conclusions vers les prémisses. Quand votre intention est de prouver positivement, ajoute Popper, vous devez éviter d’établir plus qu’il n’est nécessaire : il vous faut prouver a minima, en ayant recours aux moyens logiques les plus faibles, comme le recommande la logique intuitionniste. En revanche, quand votre intention est de prouver négativement ou de réfuter, vous ne devez pas reculer devant l’excès de critique, l’usage de moyens trop puissants : la meilleure logique est alors la plus forte, à savoir la logique classique à deux valeurs.

Mais que se passe-t-il si nous nous situons en-deçà de la distinction entre mathématiques et sciences empiriques, à cette époque pré-euclidienne où être mathématicien consistait à répondre à une question cosmologique, la question de savoir si le monde est fait de nombres ou de formes géométriques ? Certes, le mathématicien pré-euclidien n’était pas étranger à l’intention de prouver positivement, d’assurer la transmission de la vérité des prémisses vers les conclusions. Mais il ne considérait pas cette transmission comme son but exclusif. Elle était en même temps pour lui le moyen de tester ses prémisses cosmologiques, de les rejeter le cas échéant, lorsqu’elles entraînaient des conséquences mathématiques absurdes. À la fois mathématicien et cosmologiste, il lui fallait combiner une logique forte pour réfuter et une logique faible pour établir. Or la réduction à l’absurde est un mode de réfutation fondé sur la logique la plus forte, la logique bivalente, tandis que la preuve intuitive est une façon d’établir par le moyen le plus faible. Ainsi s’éclaire le lien entre nos deux différences. Le mathématicien pré-euclidien prouvait par réduction à l’absurde parce qu’il était également cosmologiste, mais il prouvait par recours à l’intuition en tant que mathématicien, et précisément en tant que défenseur de l’autonomie de la géométrie par rapport à l’arithmétique.

Il reste à comprendre comment ces deux usages opposés de la logique ont pu donner lieu, l’un comme l’autre, à des preuves que Popper juge absolues, « sans supposition ». Cette formule, « sans supposition », on voit bien comment l’appliquer à une preuve par réduction à l’absurde, qui conclut au rejet de ce qu’on a supposé pour l’établir. La même formule peut certes s’appliquer également à une preuve intuitive, mais en un sens différent : au sens où ce que je prouve intuitivement, par simple vue, je n’ai pas eu besoin de supposer quoi que ce soit pour l’établir. Dans le premier cas, « sans supposition » veut dire que la supposition est fausse ; dans le second, « sans supposition » veut dire que la supposition est inutile. Les deux sortes de preuves absolues dont parle Popper n’étaient donc pas « sans supposition » au même sens. La seule raison valable de les faire entrer dans la même catégorie ne peut être que celle-ci : les mathématiciens pré-euclidiens avaient à exclure une certaine supposition en montrant, non seulement qu’elle est fausse, mais en outre qu’elle est inutile, si bien que sa fausseté ne nous prive de rien. Cette supposition à exclure doublement, nous savons déjà en quoi elle consiste : c’est la conjecture pythagoricienne selon laquelle le monde est fait de nombres. Il nous faut maintenant découvrir pourquoi il importait d’établir à la fois sa fausseté et son inutilité, l’une par réduction à l’absurde, l’autre en recourant à l’intuition. Notre seul moyen de le découvrir est d’étudier les exemples de preuves absolues invoqués par Popper dans les trois passages mentionnés. Du même coup, nous comprendrons pourquoi les mathématiciens de cette époque empruntèrent le raisonnement ordinaire de la cosmologie présocratique pour réfuter la conjecture pythagoricienne, mais inventèrent leur propre mode d’argumentation pour prouver qu’on peut s’en passer.

 

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Certes, on ne trouve aucun exemple précis dans le passage où Popper définit comme une preuve absolue (ou presque absolue) la réduction à l’absurde telle qu’elle était pratiquée dans la cosmologie et les mathématiques pré-euclidiennes. Ce qu’il en dit évoque toutefois, de façon irrésistible, une célèbre démonstration datant de cette époque, démonstration sur laquelle nous disposons d’autres textes de Popper[8], suffisamment explicites.

Exprimé en langage moderne, l’objet de cette démonstration, telle qu’Aristote nous la rapporte[9], est de prouver que la longueur de la diagonale d’un carré est incommensurable à celle du côté de ce carré. Il s’agit clairement d’une réduction à l’absurde, détruisant sa propre supposition. Supposons en effet que les deux longueurs, celle de la diagonale et celle du côté, soient commensurables entre elles, si bien que la première comporte un nombre déterminé a d’unités, et la seconde un autre nombre déterminé b des mêmes unités. On démontre alors que dans le prétendu rapport  le dénominateur b devrait être à la fois pair et impair, ce qui est absurde. Entraînant une conséquence absurde, la supposition doit être rejetée.

Il importe avant tout, dans l’esprit de Popper, de ne pas se tromper sur la signification originelle de cette réduction à l’absurde. Elle n’avait pas au départ, soutient-il, le sens que nous sommes tentés, après coup, de lui donner, celui d’un moyen indirect d’atteindre un résultat positif, d’établir que la racine carrée de deux est un nombre d’un type particulier dans la typologie des nombres, un « nombre irrationnel ». Cette interprétation témoigne de l’incompréhension rétrospective dont les preuves pré-euclidiennes ont été victimes. La démonstration rapportée par Aristote constituait une preuve seulement négative, la réfutation de la conjecture pythagoricienne selon laquelle toutes les choses sont, dans leur essence, des nombres ou des rapports entre nombres. Si cette conjecture était vraie, tout acte de mesure aurait dû consister à compter un certain nombre d’unités. Dès lors qu’un tel décompte s’avérait impossible, la conjecture devait être fausse : la réduction à l’absurde pré-euclidienne retransmettait la fausseté des conséquences vers les prémisses.

Au contraire, une « preuve par l’absurde » au sens euclidien transmet indirectement la vérité des axiomes vers les conséquences. Elle n’est qu’un moyen détourné de déduire des axiomes la proposition qu’il faut de toute façon en déduire, quand il est impossible de le faire directement. Une fausse supposition est alors volontairement et habilement mise en avant, afin de prouver, par l’absurdité qu’elle implique, que c’est son contraire qui est vrai.

Toujours à propos du même exemple, il est un autre point que Popper tient à souligner : le fait que la preuve en question fut formulée pour la première fois au sein de l’école pythagoricienne. Elle opposait donc, au programme d’arithmétisation du monde, un argument inspiré par ce même programme. Ce point est essentiel pour la compréhension de son « absoluité ». Alors qu’elle n’a pas d’autre supposition pertinente que la commensurabilité universelle, elle détruit cette supposition de la  façon la plus explicite. Les deux exigences que nous avons formulées sont donc satisfaites.

En insistant ainsi sur sa fonction purement négative, destructrice, Popper délimite de façon très restrictive la portée que pouvait avoir, dans la situation de problème pré-euclidienne, cette preuve par réduction à l’absurde. Elle montrait que le programme d’arithmétisation devait être abandonné, elle n’indiquait pas ce qu’il fallait lui substituer, ni même si une substitution était possible. Or pour que la révolution cosmologique s’accomplisse, il ne suffisait pas de prouver que la conjecture pythagoricienne est fausse, il fallait prouver en outre que cette conjecture est inutile, qu’on n’a pas besoin de supposer la commensurabilité universelle pour déterminer les rapports entre différentes grandeurs, qu’il est possible de déterminer ces rapports directement, d’une façon géométrique, par la seule considération des figures. Bref, la preuve précédente, preuve absolue par réduction à l’absurde, devait trouver son complément dans une autre preuve, également absolue, mais cette fois au sens intuitif du terme.

Cette autre preuve absolue, c’est par exemple celle que propose, selon Popper, un passage fameux du Ménon de Platon[10]. On y prouve que l’aire du carré construit sur la diagonale d’un carré donné est le double de l’aire de ce carré donné. La démonstration consiste à tracer un carré avec sa diagonale, puis un second carré construit sur cette diagonale, et à faire convenir à un jeune garçon, ignorant en géométrie, que le second carré contient quatre triangles rectangles isocèles égaux aux deux triangles isocèles contenus dans le premier carré.

Le caractère intuitif de cette démarche est évident. Mais c’est précisément à cause de ce caractère intuitif que plus tard, après Euclide, loin d’être jugée « absolue », la preuve de Platon ne fut même pas tenue pour une preuve digne de ce nom : les philosophes l’admirèrent, les mathématiciens la traitèrent avec un certain mépris. Car d’un point de vue axiomatique, comparée à la démonstration de la même proposition chez Euclide, il s’agit d’une preuve incomplète. Par exemple, Platon ne prouve pas l’égalité des triangles rectangles isocèles, point crucial de la démonstration. On est tenté de penser que si sa preuve est « sans supposition », c’est tout bonnement parce qu’il n’a pas pris la peine de clarifier ce qu’il supposait.

En quoi cette preuve est-elle malgré tout une preuve absolue au sens de Popper ? Pour l’aborder sous l’angle qui convient, nous devons considérer son contexte. La preuve proprement dite est la seconde partie d’une histoire, l’histoire d’un jeune garçon ignorant dont on se demande s’il est capable de découvrir lui-même, sans aucun enseignement, la réponse à une question mathématique. Ce jeune garçon échoue dans la première partie de l’histoire, et réussit dans la seconde partie. Pourquoi échoue-t-il dans la première partie ? Parce qu’à ce stade il n’est pas vraiment « sans aucun enseignement », c’est-à-dire « sans supposition ». Socrate, en effet, lui a posé la question suivante : « Si chaque côté d’un carré est long de deux pieds, son aire étant donc de quatre pieds, de combien doit être long le côté d’un carré dont l’aire est double de celle du premier, à savoir huit pieds ? » Il est clairement présupposé qu’à cette question arithmétique, « de combien la ligne doit-elle être longue ? », la réponse correcte doit consister à compter, à calculer, en postulant la commensurabilité des deux côtés. En conséquence, la première partie de l’histoire ne peut être qu’une recherche vaine. Le jeune garçon répond d’abord que le côté sur lequel on l’interroge doit avoir une longueur double, donc de quatre pieds, s’aperçoit de son erreur, cherche une longueur supérieure à deux et inférieure à quatre, propose trois pieds, s’aperçoit de son erreur, cherche alors une longueur supérieure à deux et inférieure à trois, sans pouvoir mettre la main, évidemment, sur un moyen de la déterminer.

Pourquoi, maintenant, le jeune garçon réussit-il dans la seconde partie de l’histoire ? Parce qu’il est désormais réellement délivré de tout enseignement, à savoir de la conjecture pythagoricienne selon laquelle mesurer doit consister à compter. Cette conjecture, dont une preuve par réduction à l’absurde avait déjà établi la fausseté, Platon apporte ici la preuve de son inutilité. Il montre qu’un jeune garçon ignorant peut se passer de compter pour résoudre un difficile problème de mesure : il lui suffit de se fier à sa familiarité intuitive avec certaines structures spatiales. « Intuitive » ne s’oppose pas ici à « discursive », mais à la prétendue nécessité de supposer la commensurabilité pour mesurer. Rien n’est requis pour y parvenir, à part la considération géométrique des figures. Le jeune garçon n’a plus à répondre à la question arithmétique « de combien la ligne est-elle longue ? » Sa réponse, la bonne réponse, est une réponse géométrique, décrivant le type structural de la ligne en question : la « diagonale ».

En tant que purement géométrique, la preuve proposée par Platon est sans supposition en un sens pertinent : elle rejette comme inutile la seule supposition qui importe quand on pose un problème de mesure. Et en tant qu’intuitive, elle est sans supposition d’une façon explicite. Les deux exigences sont satisfaites : la preuve de Platon est une preuve absolue.

Voilà donc deux exemples de preuves absolues au sens de Popper : un exemple de preuve par réduction à l’absurde, un exemple de preuve intuitive. Nous voyons clairement leur unité, leur complémentarité eu égard à la situation de problème des mathématiques pré-euclidiennes. La première preuve établissait l’impossibilité d’une cosmologie pythagoricienne (arithmétique), la seconde montrait que cette impossibilité n’empêche pas la fondation d’une cosmologie, puisque ce qui est impossible se révèle en même temps inutile. Une cosmologie géométrique, une cosmologie dont les éléments doivent être des formes ou des figures, était par conséquent possible. Selon Popper, ce nouveau programme de géométrisation fut l’une des grandes idées de Platon, et le véritable sens de l’inscription célèbre : « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre ».    

Nous comprenons également pourquoi les preuves absolues de la première espèce ont pu paraître relever, à l’époque, de la spéculation cosmologique, tandis que celles de la seconde espèce semblaient être une affaire exclusive de mathématiciens. En réalité, les deux types de preuves avaient une signification cosmologique. Mais pour qu’une cosmologie géométrique soit possible, il fallait que la géométrie soit « pure », qu’elle conquière son autonomie, qu’elle se libère de toute supposition arithmétique de commensurabilité ou de rationalité.

 

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Popper présente comme « absolue » une autre preuve intuitive datant de l’époque pré-euclidienne : la façon dont Aristote démontre, dans un passage de la Métaphysique, que l’angle inscrit dans un demi-cercle est toujours un angle droit[11]. Selon lui, cette preuve est absolue comme celle de Platon, et pour la même raison. Elle offre toutefois certains traits particuliers qui justifient un examen spécial.

Le premier de ces traits particuliers est le fait qu’Aristote a une conscience aiguë du caractère intuitif de sa preuve. « La conclusion, dit-il, saute aux yeux avec évidence ». Qu’est-ce qui est censé nous sauter aux yeux ? Nous sommes censés voir d’un seul coup d’œil que l’angle inscrit dans le demi-cercle est la moitié d’un autre angle, à savoir l’angle plat qui forme le diamètre du cercle. Pour un tel coup d’œil, deux conditions seulement sont requises. Première condition : tracer une ligne qui divise les deux angles en question, à savoir la ligne joignant le centre du cercle au sommet de l’angle inscrit. Seconde condition : savoir déjà que la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits. Cela suffit pour voir d’un coup d’œil (selon Aristote et Popper) que les deux angles dont est formé l’angle inscrit sont les moitiés des deux angles dont est formé l’angle plat. L’angle inscrit dans le demi-cercle est donc toujours un angle droit.

Le deuxième trait particulier de ce nouvel exemple est le fait qu’Aristote élabore une théorie explicite du caractère intuitif de sa preuve. Son objectif, dans ce chapitre de la Métaphysique, est d’analyser le lien entre ce qu’il nomme energeia (actus, l’acte) et ce qu’il nomme dynamis (potentia, la puissance). La preuve géométrique qu’il propose illustre un aspect de cette analyse. Grâce à l’activité du géomètre quand il trace la ligne joignant le milieu du diamètre au sommet de l’angle inscrit, une vérité qui n’était contenue qu’en puissance dans cette figure devient intuitivement accessible.

Le troisième trait particulier est sans doute le plus important aux yeux de Popper, comme en témoigne le titre qu’il voulait donner à l’article consacré précisément à cette preuve : « Aristotle’s mathematics misunderstood » (« La mathématique d’Aristote comprise de travers »). Comme celle de Platon, la preuve d’Aristote était vouée à être dépréciée après Euclide, mais dans son cas cette dépréciation a affecté le texte lui-même, qui fut, à en croire Popper, systématiquement déformé, et doit donc être rétabli. Pour donner la mesure de cette déformation, Popper cite la traduction anglaise de David Ross, que l’on peut rendre en français de la façon suivante. « Pourquoi, aurait demandé Aristote, l’angle dans un demi-cercle est-il dans tous les cas un angle droit ? ». Et il aurait répondu : « Si trois lignes sont égales – les deux qui forment la base [le diamètre, l’angle plat] et la perpendiculaire abaissée au centre [au lieu de : « n’importe quelle ligne joignant le centre au sommet] – la conclusion saute aux yeux avec évidence. »[12] L’expression « et la perpendiculaire abaissée au centre », explique Popper, suggère à tort qu’Aristote aurait manqué à sa promesse de prouver que l’angle inscrit est droit « dans tous les cas » : sa démonstration prouverait seulement qu’un angle très particulier est droit, et exigerait un théorème supplémentaire[13] pour établir que si un seul angle inscrit est droit, alors tous doivent l’être. Telle est la déformation traditionnelle (depuis Alexandre d’Aphrodise jusqu’à David Ross) du texte d’Aristote, déformation symptomatique de la conviction post-euclidienne selon laquelle une preuve intuitive, une preuve « d’un seul coup d’œil », ne saurait aboutir à ce qui doit être prouvé en mathématiques, à savoir une vérité nécessaire et universelle.

C’est donc contre toute une tradition de commentateurs que Popper, dans les derniers mois de sa vie, s’attachait à réhabiliter une preuve qualifiée par lui de « brillante », « impressionnante », « belle », « excitante ». Or cette admiration envers la preuve intuitive d’Aristote pose problème. Car Popper a souvent critiqué l’intuition, aussi souvent d’ailleurs qu’il critiquait Aristote. Il n’a cessé de dire, dans toute son œuvre, que l’intuition, tout en étant une source importante de connaissance, n’est en rien une source fiable, ni un critère de vérité : comment pourrait-elle être le fondement d’une preuve ? Sa critique de l’intuition, Popper la dirige en outre particulièrement contre la théorie platonicienne et aristotélicienne d’une « intuition des essences » censée être infaillible, d’une appréhension de la vraie essence des choses par une sorte de vision, donc en un « coup d’œil ». Il est pour le moins surprenant, dans ces conditions, de le voir s’enthousiasmer pour une pratique de la géométrie qui semble bien appliquer cette théorie.

Je pense qu’on peut surmonter cette difficulté en considérant ce que Popper écrit dans la section 13 de The Self and Its Brain, dont le titre est « Grasping a World 3 Object » (« L’appréhension d’un objet du Monde 3 »)[14]. Popper y explique que la théorie – fausse – de l’intuition intellectuelle, de la vision des essences, contient, comme toute théorie fausse, quelque chose de vrai. Platon et Aristote avaient certes tort de croire que nous atteignons les objets intellectuels par une vision passive, mais ils n’avaient pas entièrement tort puisque la vision est en fait un processus actif. Leur théorie fausse, nous pouvons donc la traduire par la théorie vraie selon laquelle l’appréhension d’un objet intellectuel est un processus de reconstitution, une recréation cet objet. Dans un tel processus, nous n’appréhendons pas seulement ce que nous avons fait, mais bien davantage : notre action produit des conséquences inattendues, de nouveaux objets qu’il nous faut découvrir en explorant le monde autonome auquel ils appartiennent. C’est en traçant, en construisant une figure géométrique que nous appréhendons ou découvrons en elle ce que nous n’avons pas tracé, pas construit, ce qui était « en puissance », comme dit Aristote, dans cette figure. Car ce qu’il importe de comprendre, dans l’esprit de Popper, c’est que les objets que nous appréhendons dans les preuves intuitives sont des « faits mathématiques » dotés d’une existence objective, indépendants de notre appréhension. Popper peut ainsi accepter l’intuition mathématique en un sens platonicien, mais non en un sens intuitionniste, puisque l’intuitionnisme confond la preuve avec l’assertion à prouver[15].

 

Résumons ce que nous ont appris les trois exemples de preuves absolues.

1. Ces preuves étaient « sans supposition » de deux façons, soit parce qu’elles prouvaient la fausseté de ce qui était supposé, soit parce qu’elles prouvaient qu’on n’avait pas besoin de le supposer.

2. Qu’elle soit fausse ou inutile, la supposition était toujours du même type : c’était la supposition arithmétique selon laquelle il faut pouvoir compter pour pouvoir mesurer.

3. Les preuves absolues établissaient donc l’impossibilité d’une cosmologie arithmétique et la possibilité d’une cosmologie géométrique.

Or si ces preuves ont fini par être oubliées et dépréciées, c’est précisément, soutient Popper, à cause de la parfaite réalisation de cette cosmologie géométrique dans les Éléments d’Euclide[16]. Voilà qui semble paradoxal et demande à être examiné de plus près.

 

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Popper affirme à plusieurs reprises que le but initial des Éléments d’Euclide était de résoudre systématiquement les problèmes soulevés par le programme platonicien de géométrisation. En d’autres termes, il s’agissait d’intégrer en un système accompli les preuves absolues que Platon, Aristote et d’autres avaient formulées ici ou là. L’entreprise eut toutefois un tel succès, les problèmes originels furent si bien résolus, qu’ils disparurent en tant que problèmes. Et quand ces problèmes furent oubliés, la signification des preuves absolues le fut également.

Cette explication par le succès n’est pas aussi paradoxale qu’il le semble. La réussite d’Euclide ne pouvait consister que dans l’élaboration d’une géométrie autonome, libre de toute supposition de commensurabilité, donc indifférente au risque de l’incommensurabilité, de « l’irrationalité ». Or la géométrie des Éléments apparut si complètement autonome qu’il fut possible d’oublier à quel égard elle était autonome, de ne voir en elle qu’une géométrie. Résoudre le problème avait permis d’effacer le souvenir du problème. Les Éléments ne se présentèrent plus comme un traité de cosmologie, mais comme un manuel de pure géométrie.    

La situation de problème des mathématiques pré-euclidiennes était une opposition, un conflit entre deux théories cosmologiques : géométrisation contre arithmétisation. Quand cette situation de problème est oubliée, une situation nouvelle voit le jour, où les mathématiques ne sont plus divisées entre deux théories adverses sur le monde, mais entre plusieurs branches coexistant pacifiquement. La géométrie devient une simple branche des mathématiques, côte à côte avec une branche arithmétique acceptant les irrationnels comme une sorte particulière de nombres. Chaque branche est concernée par ses propres suppositions. Que les suppositions arithmétiques soient inutiles en géométrie, cela cesse donc d’avoir de l’importance. Seul est pertinent le fait que chaque preuve géométrique dépend de suppositions géométriques : la méthode axiomatique se substitue ainsi à la méthode des conjectures et réfutations. Et tandis que dans le contexte mathématique pré-euclidien on utilisait la logique de deux façon inverses, pour réfuter ou pour établir, si bien que certaines preuves pouvaient être absolues, les mathématiques euclidiennes n’ont recours à la logique que pour établir : aucune preuve ne peut plus alors être une preuve absolue, toute preuve est relative aux axiomes.

Dans ce changement, explique Popper, les mathématiques pré-euclidiennes ne sont pas seulement oubliées : elles sont dépréciées. Et cela concerne surtout les anciennes preuves absolues, sous leurs deux formes, réduction à l’absurde et intuition. Elles étaient unies par leur complémentarité, chacune permettant de rejeter la supposition pertinente d’une façon spécifique. Après Euclide, on les considère au contraire comme deux façons extrêmes de prouver, exclusives l’une de l’autre. Quiconque prend parti pour la réduction à l’absurde doit soutenir la nécessité de se fier aveuglément à la logique, donc l’inutilité de l’intuition. Quiconque prend parti pour l’intuition doit soutenir à l’inverse la nécessité de construire dans l’esprit l’objet de la preuve, donc l’invalidité de la réduction à l’absurde. N’étant plus divisées entre deux théories opposées sur le monde, les mathématiques euclidiennes pourraient alors se scinder en deux théories opposées de ce qu’est la mathématique, de ce qu’elle a à faire. L’unique moyen d’échapper à une telle division est de minimiser l’importance des deux extrêmes, ce qui revient à déprécier les anciennes preuves absolues. La réduction à l’absurde pré-euclidienne était requise pour réfuter, et parce que la réfutation exige une logique forte. On l’utilisera désormais pour prouver positivement, mais comme un moyen détourné, faute de disposer d’une voie directe, ce qui est une évidente dépréciation. De même, l’intuition était requise pour établir l’autonomie de la géométrie, sa capacité propre de résoudre des problèmes de mesure sans avoir à compter. Dans le nouveau contexte mathématique, cette autonomie n’a plus à être établie. On considère alors l’intuition comme un simple soutien de la déduction, ce qui est une autre évidente dépréciation. Quelque chose a bien été perdu quand les mathématiques pré-euclidiennes furent oubliées.

 

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Dans son Autobiographie, Bertrand Russell raconte qu’il commença l’étude d’Euclide à l’âge de onze ans, sous la direction de son frère. Ce fut, précise-t-il, un grand bonheur, gâché toutefois par un fait regrettable : «On m’avait dit qu’Euclide prouvait ce qu’il avançait ; je fus déçu qu’il commençât par des axiomes ». Russell ajoute alors : « Tout d’abord je refusai de les accepter [les axiomes] à moins que mon frère puisse m’offrir une raison de le faire, mais il me dit : “ Si tu ne les acceptes pas nous ne pourrons aller plus loin”; et comme je souhaitais aller plus loin je me résignai à les admettre pro tem. » Et il conclut : « Le doute que je ressentis alors quant aux prémisses des mathématiques est demeuré en moi et a déterminé le cours de mes travaux ultérieurs. »[17]

La réticence précoce de Russell envers la méthode axiomatique prit ainsi la forme d’un doute quant aux prémisses ou suppositions des mathématiques : peut-être un doute concernant la vérité de ces suppositions, peut-être un doute concernant leur utilité. Russell n’a toutefois jamais pensé, par la suite, qu’il serait possible de prouver mathématiquement la fausseté ou l’inutilité d’une supposition mathématique : ce qu’accomplirent, à en croire Popper, les premiers mathématiciens grecs. Pour le dire autrement, Russell n’a jamais estimé que les suppositions mathématiques pourraient être, non pas des axiomes, mais des conjectures. Sa réticence n’était donc pas identique à celle de Popper.

C’est pourtant à une sorte d’« instinct » de la vérité que Popper attribue la réticence précoce de Russell, un instinct que, selon lui, Russell n’aurait malheureusement pas suivi. Voilà ce qu’il projetait d’écrire à ce propos dans son article inachevé sur les mathématiques d’Aristote : « Le frère de Bertie était mal renseigné, et il renseigna mal Russell : il y a des preuves géométriques (ou autres) qui n’ont pas besoin de supposition, des preuves absolues. »[18]

    

 

 

 

 

 

[1] Karl POPPER, The World of Parmenides, Essays on the Presocratic Enlightment, Londres et New York, Routledge, 2007.

[2] Popper’s Open Society After Fifty Years, Londres et New York, Routledge, 1999.

[3] The World of Parmenides, p. 297.

[4] Popper’s Open Society After Fifty Years, p. 28.

[5] Voir par exemple Karl POPPER, Conjectures and Refutations, Londres, Routledge, 1978, p. 221.

[6] Voir par exemple Karl POPPER, The Open Society and Its Enemies, Londres, Routledge, 1974, Vol. 1, “The Spell of Plato”, p. 248-253 et Conjectures and Refutations, p. 75-93.

[7] Voir sur ce point Karl POPPER, Objective Knowledge, Oxford University Press, 1979, p. 139-140 et 304-307.

[8] Par exemple The Open Society, p. 249; Conjectures and Refutations, p. 86.

[9] ARISTOTE, Premiers Analytiques, 14 a 26.

[10] PLATON, Ménon, 82b-85b.

[11] ARISTOTE, Métaphysique, Livre ϴ, chap. 9, 1051 a 26-28.

[12] Dans son édition de la Métaphysique (Paris, Vrin, 1964), Jules Tricot propose p. 520 une traduction française analogue.

[13] A savoir Euclide, III, 21.

[14] Karl POPPER et J. ECCLES, The Self and Its Brain, An Argument for Interactionism, Londres et New York, Routledge, 2003, P1, p. 45.

[15] Voir Objective Knowledge, p. 139.

[16] The World of Parmenides, p. 266.

[17] Bertrand RUSSELL, Autobiography, Londres, Routledge, 2000, p. 30-31.

[18] The World of Parmenides, p. 297.

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